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Einfache Modellierung pflanzenähnlicher Strukturen
Grundlagen und Einsatz von parametrisierten L-Systeme
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Grundlagen und Einsatz von parametrisierten L-Systeme

 
 
Parametrisierte L-Systeme

Auch wenn L-Systeme mit Turtle-Interpretationen eine weite Bandbreite an interessanten Objekten generieren können, so sind doch die Modellierungsmöglichkeiten eingeschränkt. Z. B. ist jede Linienlänge auf ein ganzzahliges Vielfaches der Schrittweite der Turtle beschränkt. Die Darstellung vieler einfacher Figuren ist deshalb nicht möglich (s. nachfolgende Abb.).

Darstellung eines Dreiecks mit Hilfe eines 0L-Systems

Darstellung eines Dreiecks mit Hilfe eines 0L-Systems

Ein ähnliches Problem stellen beliebige Winkel dar. Um diese Probleme zu lösen, führte Lindenmayer die parametrisierten L-Systeme ein, die numerische Parameter mit den L-System Symbolen verbinden. Formal ist ein parametrisiertes L-System ein Quadrupel:


\begin{displaymath}(V, E, \omega, P)\end{displaymath}


wobei gilt:

  • V stellt das Alphabet des Systems dar
  • E ist die Menge der formalen Parameter
  • $\omega \in (V \times R^{*})^{+}$ ist ein nichtleeres parametrisiertes Wort, das Axiom
  • P $\subset (V \times \sum{}^{*}) \times C(\sum{}) \times (V \times E(\sum{}))^{*}$ ist eine endliche Menge der Produktionen

Eine Produktion besteht aus drei Teilen: einem Predecessor, einer Bedingung und einem Successor. Getrennt werden diese Teile durch die Symbole ,,:`` und ,,$\to$``. Eine Beispielproduktion könnte also folgendermaßen aussehen:


\begin{displaymath}A(t) : t > 5 \to B(t+1) C D ( t \times 0.5, t - 2)\end{displaymath}


Folgende Bedingung müssen für die Anwendung einer Regel erfüllt sein:

  • Der Predecessor der Regel muß mit dem zu ersetzenden Zeichen im Wort übereinstimmen.
  • Die Anzahl der Parameter des Zeichens im Wort und die Anzahl der formalen Parameter des Zeichens auf der linken Seite der Regel stimmen überein.
  • Die Bedingung C($\sum{}$) in der Regel hat den Wahrheitswert true, wenn die Werte der aktuellen Parameter des Zeichens im Wort für die formalen Parameter des Zeichens auf der linken Seite der Regel eingesetzt werden.

Durch Anwendung der Regel wird das parametrisierte Zeichen im Wort durch die rechte Seite der Regel ersetzt, wobei hier die arithmetischen Ausdrücke über den Werten der aktuellen Parameter ausgewertet werden, die für die entsprechenden formalen Parameter eingesetzt werden und diese Werte ihrerseits als aktuelle Parameter der neu eingefügten Zeichen im Wort verwendet werden.

Ein Beispiel für ein parametrisiertes L-System:

$\omega$ = B(2) A(4,4)
p1 = A(x,y) : y $\leq$ 3 $\to$ A(x $\times$ 2, x + y)
p2 = A(x,y) : y > 3 $\to$ B(x) A(x/y,0)
p3 = B(x) : x < 1 $\to$ C
p4 = B(x) : x $\geq$ 1 $\to$ B(x-1)

Eine Ableitung eines parametrisierten L-Systems

Eine Ableitung eines parametrisierten L-Systems

Die Turtleinterpretation der parametrisierten Wörter sieht dann folgendermaßen aus:

F(a) Die Turtle bewegt sich um einen Schritt der Länge a>0 nach vorne und zeichnet dabei eine Linie.
f(a) Die Turtle bewegt sich einen Schritt der Länge a nach vorne, ohne eine Linie zu zeichnen
+(a) Die Turtle dreht sich um den Winkel a. Ist a positiv, so dreht sich die Turtle rechts, ist a negativ, so links herum.
-(a) Die Turtle dreht sich um den Winkel a. Ist a positiv, so dreht sich die Turtle links, ist a negativ, so rechts herum.

Am Anfang des Abschnittes wurde gezeigt, daß die Darstellung einer einfachen Figur (Dreieck) mit einem D0L-System nur umständlich möglich ist. Als Lösung dieses Problems bieten sich die parametrisierten L-Systeme an, wie man nachstehend erkennt.

Darstellung eines Dreiecks mit Hilfe eines parametrisierten 0L-Systems

Darstellung eines Dreiecks mit Hilfe eines parametrisierten 0L-Systems

Angewendet werden können die parametrisierten L-Systeme bei den pflanzlichen Darstellungen z. B. zur Modellierung von Verzögerung. Dieses wird im nächsten Kapitel aufgezeigt.

 


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Letzte Änderung 21. Januar 2001