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Tutorial zum Thema "Petri-Netze"
2.   Petri-Netze
2.3   Dynamisches Verhalten eines Netzes : Tokenspiel



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2.3   Dynamisches Verhalten eines Netzes : Tokenspiel

Eine Transition t kann schalten, wenn alle Plätze im Vorbereich pre(t) (mindestens) ein Token enthalten. Das Schalten von t entfernt diese Token aus pre(t) und legt ein (zusätzliches) Token in jeden Platz des Nachbereichs post(t).




Dadurch können Markierungen mit mehreren Token pro Platz entstehen. Um solche Markierungen formal zu beschreiben zu können, werden Multimengen verwendet.


Definition :
Eine Multimenge M über einer Menge X ist eine Abbildung M : X -> IN0 .
Jede Teilmenge M X wird mit der durch ihre charakteristische Funktion
gegebene Multimenge indiziert, d.h.

M(x) = 1      falls x M
0      sonst

Für Multimengen M, N über X und x X führen wir folgende Relationen
und Operatoren ein :
  • Inklusion       : M N gdw. x X : M(x) N(x)
  • Vereinigung : M N def. durch (M N)(x) = M(x) + N(x)
  • Differenz       : M - N def. durch (M - N)(x) = M(x) N(x)
wobei die modifizierte Differenz auf IN0 ist :

m n = m - n      falls m 0
0 sonst

Für Multimengen M wird x M geschrieben, falls M(x) 1 gilt.

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Beispiel :
Sei X = { a, b, c }. Dann wird die Multimenge M = { a, a, b, b, b, c }
wie folgt als Abbildung M definiert :


M(a) = 2 bedeutet "a kommt zweimal vor"
M(b) = 3 bedeutet "b kommt dreimal vor"
M(c) = 1 bedeutet "c kommt einmal vor".



Definition :
Sei N = ( A, Pl, ->, M0) ein Netz. Eine Markierung (oder ein Fall oder ein globaler Zustand) von N ist eine Multimenge über Pl.

Als graphische Darstellung werden dabei in jeden Platz p Pl genau M(p) Token gelegt.



Beispiel :
Die dargestellte Markierung wird durch folgende Multimenge M beschrieben :

M(p1) = 1
M(p4) = 2
M(p2) = M(p3) = M(p5) = 0



Definition :
Sei N = ( A, Pl, ->, M0) ein Netz und M eine Markierung von N.

(1) Eine (lokale) Transition t -> ist in M (zum Schalten oder zur Ausführung) bereit, falls

pre(t) M

gilt. Das Schalten oder die Ausführung einer bereiten Transition führt zu einer neuen Markierung

M' = ( M - pre(t)) post(t).

Notation : M M' (in N) oder auch
M [t M' (in N).

M' ist dann eine Nachfolgemarkierung von M (im Tokenspiel von N).


(2) Eine globale Transition ist eine endliche Menge Ø von lokalen Transitionen. Wir setzen


pre( ) = pre(t),
post( ) = post(t),

Die Transitionen in sind zur paralellen (oder nebenläufigen) Ausführung bereit, falls

pre( ) M

gilt. Die parallele (oder nebenläufige) Ausführung der Transitionen in führt zu einer neuen Markierung

M' = ( M - pre()) post( ).

Notation : M M' (in N) oder auch
M [ M' (in N).

Wir sagen auch : M' wird von M in einem Schritt (des Tokenspiels von N) erreicht.


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© Copyright Oktober 1997 by Petra Hornstein