Im letzten Abschnitt hast Du gesehen wie einfach die Rotation anzuwenden ist. Ziel war, die Rotationsformeln herzuleiten, damit jetzt eine einfachere und leichtere Rechenmethode eingeführt werden kann. Die gefundenen Formeln werden hier nur noch umgestellt. Du hast gesehen, das Du die Drehung eines Punktes einfach erreichst, indem Du auf die x- und y-Werte des Originalpunktes einen Winkel anwendest. In einfacher Formelschreibweise hast Du das so kennen gelernt:

Du betrachtest dabei die x- und y-Werte des Punktes separat und wendest den Winkel auf beide einzeln an. Der Originalpunkt soll ab jetzt nur noch in Vektorschreibweise betrachtet werden. Die Rotationsformeln werden in eine Matrix überführt. Wenn Du Dir den Aufbau einer Matrix anschaust, wird Dir klar werden, warum die Matrix so aussieht.

Die Punkte P und Pī sollten Dir in dieser Darstellung eigentlich klar sein. R ist die Rotationsmatrix. Sie beinhaltet die Berechnung der Rotation. Wenn Du die Matrix mit den Vektoren folgendermaßen verknüpfst,

und die Gleichung einmal ausmultiplizierst, wirst Du sehen, daß Du diese Formel bereits verwendet hast.  

Wie Du im Abschnitt über die Komposition von Transformationen noch nachlesen kannst wird es bei der jetzigen Darstellung der Rotation zu Problemen kommen. Die Skalierung und Translation führen dort eine Multiplikation auf einer 3×3-Matrix aus, während die Rotation mit einer 2×2-Matrix auskommt. Wenn wir die drei Transformationen miteinander kombinieren wollen, ist eine einheitliche Darstellung hilfreich und später auch einfacher auszuführen.  

Du solltest Dich vor dem Weiterlesen kurz mit homogenen Koordinaten beschäftigen. Es ist für das erste Anwenden nicht unbedingt erforderlich, aber sehr wichtig, daß Du dieses Prinzip verstanden hast. Das Ziel in diesem Abschnitt ist, die Rotation auch auf eine 3×3-Matrix zurückzuführen. Bisher wurden die Punkte als zweielementige Spaltenvektoren betrachtet und die Matrix bestand aus zwei Zeilen und zwei Spalten. Um die Rotation als Multiplikation mit einer 3×3-Matrix auszudrücken geht man wie folgt vor:

Der Spaltenvektor wird um einen Parameter, der durch die Regeln der homogenen Koordinaten immer eins sein wird, erweitert. Wird die Multiplikation jetzt ausgeführt, geht die homogene Koordinate wieder verloren.

Der Vorgang muß noch fortgesetzt werden und die Rotationsmatrix geschickt erweitert werden. Das gewünschte Resultat kann durch geschicktes hinzufügen einer eins und ein paar nullen erreicht werden. Das Ergebnis ist folgende Matrix:

Diese Matrix bezeichnet man als Rotationsfunktion. Zum Verständnis kannst Du ja mal versuchen, ob es noch andere Möglichkeiten gibt, aus einem dreielementigen Spaltenvektor multipliziert mit einer beliebigen Matrix wieder einen Spaltenvektor zu bekommen der den Regeln der homogenen Koordinaten bedient. Die Rotation kann also, wie die Translation und Skalierung, mit einer 3×3-Matrix berechnet werden

Damit haben wir unser Ziel schon erreicht. Wenn Du das Ergebnis mit den Matrizen der Translation und Skalierung vergleichst und Dir noch den Abschnitt über die Komposition von Transformationen ansiehst, stellst Du fest, welche Vorteile wir durch diese Darstellungsart erreichen. Der Aufwand zur Berechnung eines einzelnen Punktes macht so natürlich wenig Sinn und man würde die einfache Formelschreibweise vorziehen, aber im Gesamtkonzept bei Anwendung von mehreren Transformationen bringt sie nur Vorteile.  

Auf der nächsten Seite kannst Du die Rotation an einem Applet ausprobieren. Wenn Du Dir die Translation und Skalierung schon angeschaut hast, wird Dir die Darstellung bekannt sein. Die wichtigsten Formeln und die Rotationsfunktion werden jeweils ausgegeben, so daß Du Dir die Mathematik jetzt nicht sofort merken und nicht immer auf diese Seite zurückspringen mußt.