Grafiti: Kurvendarstellungen; Bézierkurven; Mathematische Darstellung

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Mathematische Darstellung



Der mathematische Hintergrund		Bézierkurven verwenden die parametrische Darstellung . Wir suchen also eine Funktion Sie sieht gar nicht so kompliziert aus:
Bézierkurve als parametrische Darstellung		In dem Applet links kannst Du jetzt den Parameter verändern und beobachten, wie der dazugehörige Punkt über die Kurve wandert. Der Pfeil stellt den Tangentenvektor der Kurve im Punkt Q(t) dar. Beachte: P₀P₁ ist nicht gleich dem Tangentenvektor im Anfangspunkt. Der Tangentenvektor im Anfangspunkt hat die gleiche Richtung wie P₀P₁, ist aber dreimal so lang. Entsprechendes gilt für den Tangentenvektor im Endpunkt.

Eigenschaften der parametrischen Darstellung

Mache Dir folgende Eigenschaften klar:

• Die Funktion Q(t) berechnet Punkte in Abhängigkeit vom Parameter t aus dem Intervall [0, 1].

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• Die Kontrollpunkte gehen direkt in die Formel ein.

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• Q(t) hat die gleiche Dimension wie die Kontrollpunkte: Sind die Kontrollpunkte zweidimensional, (P₀ = (x₀, y₀)^T), so ist es auch die Kurve (Q(t) = (x(t), y(t))^T). Sind die Kontrollpunkte hingegen dreidimensional, so ist es auch jeder Punkt der Kurve, und jede der Dimensionen des Kurvenpunktes wird durch die Kontrollpunkte beeinflußt.