Grafiti: Kurvendarstellungen; Die Hermite Kurve; Die kubische Hermite Kurve

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Die kubische Hermite Kurve
Hier wird aus den im vorigen Abschnitt angegebenen Vorgaben für eine einfache Kurve mathematisch eine Funktion P(t) für die Kurve hergeleitet.
Die vier Nebenbedingungen sind:

P(0)=P0 (Anfangspunkt); P(1)=P1 (Endpunkt); P'(0)=P'0 (Ableitung im A-Punkt); P'1=P'1 (Ableitung im E-Punkt)
Durch vier Nebenbedingungen wird ein Polynom dritten Grades (ein kubisches Polynom) eindeutig bestimmt:

oder in Vektorschreibweise:

P(t) in Vektorschreibweise
Dabei sind die c_i Vektoren aus dem zweidimensionalen oder dreidimensionalen Raum. Unser Ziel ist es nun, die Matrix C aus den Nebenbedingungen P₀ , P₁ , P^'₀ und P^'₁ zu ermitteln. Schreiben wir die Nebenbedingungen in eine Matrix G, so suchen wir die Matrix M_H, sodaß C = G • M_H und damit

Die Ableitung von P(t) ist

Setzen wir die Nebenbedingungen in die Funktion ein, ergibt sich ein Gleichungssystem mit vier Unbekannten:

Für den Vektor C der c_i folgt (C ist bezüglich der c_i ein Zeilenvektor, deshalb erscheint unten zuerst die Transponierte C ^T ):

G heißt Geometriematrix, M_H heißt Basismatrix der Hermite-Kurve.
In Vektorschreibweise folgt mit P(t) = C • T

Damit ist das Ziel erreicht:
Durch diese Darstellung kann für eine gegebene Geometriematrix G, die alle Vorgaben für die Kurve enthält, mittels Matrixmultiplikation mit der Basismatrix M_H und mit dem Vektor T die Funktion der Kurve berechnet werden. Mit dieser Funktion läßt sich nun die Kurve auf dem Bildschirm dargestellen. Zur Speicherung mehrerer Hermite-Kurve wird außer den zugehörigen Geometriematrizen nur noch die Basismatrix benötigt. Zum besseren Verständnis der Geometriematrix: Obwohl sie oben wie ein Vektor aussieht, ist sie eine Matrix, da die Einträge (zwei Punkte, zwei Vektoren) je nach Zielraum zwei- oder dreidimensional sind.
Dasselbe gilt für die Koeffizientenmatrix C.



Die kubische Hermite Kurve		Hier wird aus den im vorigen Abschnitt angegebenen Vorgaben für eine einfache Kurve mathematisch eine Funktion *P(t)* für die Kurve hergeleitet. Die vier Nebenbedingungen sind: Durch vier Nebenbedingungen wird ein Polynom dritten Grades (ein kubisches Polynom) eindeutig bestimmt: oder in Vektorschreibweise: Dabei sind die *c_i* Vektoren aus dem zweidimensionalen oder dreidimensionalen Raum. Unser Ziel ist es nun, die Matrix C aus den Nebenbedingungen *P₀ , P₁ , P^'₀* und *P^'₁* zu ermitteln. Schreiben wir die Nebenbedingungen in eine Matrix G, so suchen wir die Matrix *M_H, sodaß C = G • M_H* und damit Die Ableitung von *P(t)* ist Setzen wir die Nebenbedingungen in die Funktion ein, ergibt sich ein Gleichungssystem mit vier Unbekannten: Für den Vektor C der *c_i* folgt (C ist bezüglich der *c_i* ein Zeilenvektor, deshalb erscheint unten zuerst die Transponierte *C ^T* ):

		G heißt Geometriematrix, *M_H* heißt Basismatrix der Hermite-Kurve. In Vektorschreibweise folgt mit *P(t) = C • T* Damit ist das Ziel erreicht: Durch diese Darstellung kann für eine gegebene Geometriematrix G, die alle Vorgaben für die Kurve enthält, mittels Matrixmultiplikation mit der Basismatrix *M_H* und mit dem Vektor T die Funktion der Kurve berechnet werden. Mit dieser Funktion läßt sich nun die Kurve auf dem Bildschirm dargestellen. Zur Speicherung mehrerer Hermite-Kurve wird außer den zugehörigen Geometriematrizen nur noch die Basismatrix benötigt. Zum besseren Verständnis der Geometriematrix: Obwohl sie oben wie ein Vektor aussieht, ist sie eine Matrix, da die Einträge (zwei Punkte, zwei Vektoren) je nach Zielraum zwei- oder dreidimensional sind. Dasselbe gilt für die Koeffizientenmatrix C.